Это совершенно невозможно. Палестинская автономия, согласно договору Осло, делится на 3 части. А, В, и С. по территориям "С", вы можете свободно ездить на любом израильском транспорте. Так же и по территории "В" . Эти территории занимают большую часть Палестинской автономии. Они под полным военным контролем Израиля. Территории "А" - в их число входят большинство крупных городов автономии, в т.ч. Бейтлехем (Вифлием), категорически запрещены не только для израильских автомобилей, но и для израильских гражданских лиц. Там никто не может гарантировать безопасность.
Однако добраться до Бейтлехема очень просто, взяв в Иерусалиме, в районе старого города арабское такси.Такие такси всегда стоят например возле "гробницы Марии", в Гефсимании. Расстояние там всего 8-10 км.
Касательно второй части вопроса, Вы получили уже достаточно полный ответ. С маленькой поправкой. До цетрального перехода (Мост Аленби) на арендованой машине Вы можете свободно доехать (это территория "С"). А вот через границу Вас там не пустят.
В Петру из Израиля есть организованые экскурсии. Из центра и севера страны - двухдневные(как правило с посещением еще и Джераша и Мадабы), Из Эйлата двух и однодневные. Есть и с посещением Вади Рам. Из Эйлата, можно так-же перейти границу, и с той стороны взять иорданское такси.
Есть еще один вариант - самолёт. Время полёта от Бен-Гуриона до Аммана - 20 минут (чуть больше 100км). Вылеты рано утром, возврат поздно вечером.Из Амманского аэропорта можно так же взять такси. Это вариант весьма дорог. Бонус - потрясающие виды Иудейских гор, Иерусалима и Мёртвого моря с высоты.